Cara Menghitung Varians dan Simpangan Baku Data Berkelompok (Contoh Lengkap)
Di tulisan sebelumnya kita sudah menghitung mean, median, dan modus data berkelompok. Ketiganya menjawab pertanyaan "di mana pusat data". Pertanyaan berikutnya: seberapa menyebar datanya? Untuk itu dipakai varians dan simpangan baku (standar deviasi).
Foto: rawpixel (CC0)
Contohnya, dua kelas sama-sama punya rata-rata 70. Di kelas A semua siswa mendapat nilai 65–75, sedangkan di kelas B nilainya tersebar dari 30 sampai 100. Rata-ratanya sama, tetapi keadaannya sangat berbeda. Simpangan baku menunjukkan perbedaan itu.
Rumus untuk data berkelompok
Varians sampel: s² = Σ f·(x − x̄)² / (n − 1)
Simpangan baku sampel: s = √s²
- x = titik tengah kelas
- f = frekuensi kelas
- x̄ = rata-rata data berkelompok
- n = banyak data
Jika data yang dimiliki adalah seluruh populasi (bukan sampel), pembaginya n, bukan n − 1. Di soal kuliah, perhatikan kata "sampel" atau "populasi". Jika tidak disebutkan, kebanyakan buku statistik memakai n − 1.
Contoh perhitungan
Kita lanjutkan data nilai 50 siswa. Dari perhitungan sebelumnya, x̄ = 58,34.
| Interval | x | f | x − x̄ | (x − x̄)² | f·(x − x̄)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 13 – 24 | 18,5 | 1 | −39,84 | 1.587,23 | 1.587,23 |
| 25 – 36 | 30,5 | 4 | −27,84 | 775,07 | 3.100,26 |
| 37 – 48 | 42,5 | 6 | −15,84 | 250,91 | 1.505,43 |
| 49 – 60 | 54,5 | 15 | −3,84 | 14,75 | 221,18 |
| 61 – 72 | 66,5 | 17 | 8,16 | 66,59 | 1.131,96 |
| 73 – 84 | 78,5 | 5 | 20,16 | 406,43 | 2.032,13 |
| 85 – 96 | 90,5 | 2 | 32,16 | 1.034,27 | 2.068,53 |
| Jumlah | 50 | 11.646,72 | |||
Varians: s² = 11.646,72 / (50 − 1) = 11.646,72 / 49 = 237,69
Simpangan baku: s = √237,69 = 15,42
Kalau dianggap populasi: σ² = 11.646,72 / 50 = 232,93 dan σ = 15,26.
Cara cepat: rumus f·x²
Menghitung x − x̄ untuk setiap kelas bisa melelahkan, apalagi kalau rata-ratanya berkoma. Rumus alternatif berikut hasilnya sama persis:
s² = (Σ f·x² − n·x̄²) / (n − 1)
Untuk data kita: Σ f·x² = 181.824,5, sehingga s² = (181.824,5 − 50 × 58,34²) / 49 = (181.824,5 − 170.177,78) / 49 = 11.646,72 / 49 = 237,69. Hasilnya sama.
Membaca simpangan baku
- Simpangan baku 15,42 berarti nilai siswa rata-rata berjarak sekitar 15 poin dari rata-rata 58,34.
- Jika bentuk datanya kira-kira seperti lonceng, sekitar dua pertiga siswa nilainya berada di antara 58,34 − 15,42 = 42,9 dan 58,34 + 15,42 = 73,8.
- Semakin kecil simpangan baku, semakin seragam kemampuan siswa.
Untuk membandingkan sebaran dua kelompok yang rata-ratanya berbeda, gunakan koefisien variasi: KV = s / x̄ × 100% = 15,42 / 58,34 × 100% ≈ 26,4%.
Cek dengan data mentah
Simpangan baku dari 50 data aslinya (tanpa dikelompokkan) adalah 14,81. Hasil data berkelompok (15,42) sedikit lebih besar karena setiap nilai "dipindahkan" ke titik tengah kelasnya. Selisih kecil seperti ini wajar.
Menghitung dengan Excel atau Google Sheets
Untuk data mentah di sel A2:A51:
=VAR.S(A2:A51) → varians sampel =STDEV.S(A2:A51) → simpangan baku sampel =STDEV.P(A2:A51) → simpangan baku populasi
Untuk data berkelompok, buat kolom x, f, dan f·(x − x̄)² seperti tabel di atas, lalu jumlahkan dengan =SUM(). Cara ini juga berguna untuk memeriksa hitungan manual sebelum ujian.