Cara Menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok (Plus IQR)
Median membagi data menjadi dua bagian sama besar. Bagaimana kalau data ingin dibagi menjadi empat, sepuluh, atau seratus bagian? Untuk itu dipakai kuartil, desil, dan persentil, yang disebut juga ukuran letak. Ketiganya sering dipakai untuk menentukan batas nilai, misalnya "25% siswa terbawah" atau "10% teratas".
Foto: rawpixel (CC0)
Tulisan ini melanjutkan seri data berkelompok: kelas interval, mean–median–modus, dan varians–simpangan baku. Datanya tetap nilai ujian 50 siswa.
Tabel data
| Interval | Tepi bawah | f | Frekuensi kumulatif (F) |
|---|---|---|---|
| 13 – 24 | 12,5 | 1 | 1 |
| 25 – 36 | 24,5 | 4 | 5 |
| 37 – 48 | 36,5 | 6 | 11 |
| 49 – 60 | 48,5 | 15 | 26 |
| 61 – 72 | 60,5 | 17 | 43 |
| 73 – 84 | 72,5 | 5 | 48 |
| 85 – 96 | 84,5 | 2 | 50 |
n = 50, panjang kelas c = 12.
Satu rumus untuk semuanya
Kuartil, desil, dan persentil sebenarnya memakai pola rumus yang sama dengan median. Bedanya hanya di letak data yang dicari:
| Ukuran | Letak data ke- |
|---|---|
| Kuartil ke-i (Qi) | i · n / 4 |
| Desil ke-i (Di) | i · n / 10 |
| Persentil ke-i (Pi) | i · n / 100 |
Rumus umum: Nilai = Tb + ((letak − F) / f) · c
- Tb = tepi bawah kelas tempat data tersebut berada
- F = frekuensi kumulatif sebelum kelas itu
- f = frekuensi kelas itu
Kuartil bawah (Q1)
Letak = 1 × 50 / 4 = 12,5. Frekuensi kumulatif sampai kelas 37–48 baru 11, sedangkan sampai kelas 49–60 sudah 26. Jadi Q1 ada di kelas 49–60.
Q1 = 48,5 + ((12,5 − 11) / 15) · 12 = 48,5 + 1,2 = 49,7
Kuartil tengah (Q2)
Letak = 2 × 50 / 4 = 25, juga di kelas 49–60.
Q2 = 48,5 + ((25 − 11) / 15) · 12 = 48,5 + 11,2 = 59,7
Hasilnya sama dengan median yang dihitung di tulisan sebelumnya, karena Q2 = median.
Kuartil atas (Q3)
Letak = 3 × 50 / 4 = 37,5. Sampai kelas 49–60 ada 26 data, dan sampai kelas 61–72 ada 43. Jadi Q3 di kelas 61–72.
Q3 = 60,5 + ((37,5 − 26) / 17) · 12 = 60,5 + 8,12 = 68,62
Desil ke-7 (D7)
Letak = 7 × 50 / 10 = 35, di kelas 61–72.
D7 = 60,5 + ((35 − 26) / 17) · 12 = 60,5 + 6,35 = 66,85
Artinya, 70% siswa mendapat nilai di bawah sekitar 66,85.
Persentil ke-90 (P90)
Letak = 90 × 50 / 100 = 45. Sampai kelas 61–72 ada 43 data, dan sampai kelas 73–84 ada 48. Jadi P90 di kelas 73–84.
P90 = 72,5 + ((45 − 43) / 5) · 12 = 72,5 + 4,8 = 77,3
Jika sekolah ingin memberi penghargaan kepada 10% siswa teratas, batas nilainya sekitar 77,3.
Jangkauan antarkuartil (IQR)
IQR = Q3 − Q1 = 68,62 − 49,7 = 18,92
IQR menunjukkan lebar sebaran 50% data di bagian tengah. Berbeda dengan jangkauan biasa (data terbesar − terkecil), IQR tidak terpengaruh nilai ekstrem seperti 13 atau 90.
IQR juga dipakai untuk mendeteksi pencilan (outlier). Nilai di bawah Q1 − 1,5 × IQR = 49,7 − 28,38 = 21,32 atau di atas Q3 + 1,5 × IQR = 68,62 + 28,38 = 97 dianggap pencilan. Pada data mentah, nilai 13 berada di bawah 21,32, jadi termasuk pencilan. Mungkin siswa itu sakit saat ujian, atau ada kesalahan input yang perlu dicek.
Hubungan ketiganya
- Q1 = P25, Q2 = D5 = P50 = median, Q3 = P75
- D1 = P10, D9 = P90
Hubungan ini berguna untuk mengecek hitungan. Contohnya, jika D5 yang dihitung tidak sama dengan median, pasti ada yang keliru.
Kesalahan yang sering terjadi
- Memakai batas bawah kelas (49), bukan tepi bawah (48,5).
- Mengambil F sebagai frekuensi kumulatif sampai kelas itu, padahal seharusnya sebelum kelas itu.
- Untuk data tunggal (tidak berkelompok), letak kuartil memakai rumus i(n+1)/4. Rumus i·n/4 di atas khusus untuk data berkelompok.